Kosten fressen Rendite: Der mathematische Beweis

Kosten und Steuern mindern den Investitionserfolg

Die Auswirkung von Kosten[1]  [2] [3] und Steuern[5] auf den Investitionserfolg verdeutlicht nachfolgende Grafik. Laufende Gewinne werden thesauriert. Vereinfacht fallen Steuern einmalig am Ende an. Die Auswirkung auf die Endvermögen[4] sind erheblich.

Das leuchtet direkt ein: Banken, Broker und Staat wollen an der Investition mitverdienen. Deshalb gilt immer:

Minimale Transaktionskosten maximieren Gewinn und Rendite (minimieren Verluste), ob mit oder ohne Steuern, für alle Arten umgesetzter Investitionen.
Lösung: Buy-and-Hold auf einen weltweiten ETF bei einem günstigen Onlinebroker – einfach umsetzbar, mit vertretbarem Risiko.
Wichtig: Wir optimieren nur die Umsetzung einer Investition. Ob die Investition überhaupt lukrativ ist, ist eine gänzlich andere Frage.

Nachfolgend zeige ich den mathematischen Beweis, dass dies immer gilt. Der Charme: Wir brauchen keine empirischen Daten, ob das stimmt.

Der Rechenweg taugt auch für den Matheunterricht der Oberstufe als Anwendungsbeispiel für Differenzialrechnung. Den Rechenweg habe ich so weit ausgeführt, dass er mit Unterstützung des Mathelehrers des Vertrauens nachgerechnet werden kann.

Haftungsausschluss: Keine Versicherungs-, Finanz-, Anlage- und/oder Steuerberatung!

Annahmen & Rechenregeln

Für diese Analyse nehmen wir an, dass Gewinne und Renditen sowohl positiv als auch negativ sein können. Steuern, Inflation und Risiken bleiben unberücksichtigt.

Kettenregel $$ u'(v) = u'(v) \cdot v' $$

Produktregel $$ (uv)' = u'v + uv' $$

Quotientenregel $$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - vu'}{v^2} $$

Den absoluten Gewinn optimieren

Der Gewinn $G$ einer Anlage in ein Wertpapier berechnet sich aus $$G=E-A$$

mit $E$ als Erlös und $A$ als Ausgaben. Sowohl der Erlös als auch die Ausgaben hängen von der Menge $X$ des Wertpapiers ab. Unter Berücksichtigung des Erlöspreises $P$ ergibt sich für den Erlös $$E=P_E \cdot X$$

Analog dazu ergibt sich für die Ausgaben der Preis $P_E$. Hinzu kommen aber auch noch die Transaktionskosten $K$, die uns die Bank in Rechnung stellt. Das heißt für die Ausgaben: $$A=P_A \cdot X + K $$

Die Transaktionskosten $K_E$ hängen sowohl vom Erlös als auch den Ausgaben und den laufenden Kosten ab. Genauer: $$ K(E, A, X) = K_E + K_A + K_L + K_\tau > 0 $$

mit $K_E$ als Kosten für den Erlös, $K_A$ als Kosten für die Ausgabe, $K_L$ für die laufenden Kosten, $K_{\tau}$ für Residualkosten wie Spreads, Währungsumrechnungen, Kontogebühren, etc. Da es sich hierbei um eine lineare Verkettung von Teilkosten handelt, wird zum Zweck der Lesbarkeit auf die Aufteilung der Kosten verzichtet. Außerdem wird angenommen, dass zumindest die Residualkosten anfallen.

Setzen wir die Ausdrücke (5) und (6) in (4) ein: $$ G = P_E \cdot X - P_A \cdot X - K $$

Für den maximalen Gewinn müssen wir die 1. Ableitung auf den Gewinn $G$ nach der gekauften Menge $X$ bilden: $$ G' = \frac{dG}{dX} = P_E - P_A - K' $$

Setzen wir $G'$ gleich Null, so erhalten wir: $$ 0 \equiv P_E - P_A - K' $$

Umgestellt: $$ P_E - P_A = K' $$

Der Gewinn $G$ ist maximal, wenn die 2. Ableitung von (8) nach der gekauften Menge $X$ kleiner Null ist: $$ G'' = \frac{d^2 G}{dX^2} = -K'' \lt 0 $$

Das ist erfüllt, weil die Summanden größer als Null sind: $$ -\underbrace{K''}_{>0} \lt 0 $$

Daraus folgt: Der maximale Gewinn liegt dort, wo der Stückgewinn $P_E-P_A$ die Grenzkosten $K'$ schneidet. Das leuchtet unmittelbar ein: Solange die Grenzkosten niedriger als der Stückgewinn sind, lohnt sich der Handel. Überschreiten die Grenzkosten den Stückgewinn, entsteht ein Verlust.

Fazit: Minimale Transaktionskosten maximieren den absoluten Gewinn.

Die Rendite optimieren

Die Rendite $R$ einer Anlage in Wertpapiere berechnet sich aus: $$ R = \frac{G}{A} = \frac{E - A}{A} = \frac{E}{A} - 1 $$

mit dem Gewinn $G$ und den angefallenen Ausgaben $A$. Den Erlös $E$ ersetzen wir durch (5) und die Ausgabe $A$ durch (6): $$ R = \frac{P_E \cdot X}{P_A \cdot X + K} - 1 $$

Für die maximale Rendite müssen wir die 1. Ableitung von $R$ nach der gekauften Menge $X$ bilden. Die Eins in (15) entfällt beim Ableiten. Mit Hilfe der Quotientenregel (3) folgt: $$ R' = \frac{dR}{dX} = \frac{P_E \cdot (P_A \cdot X + K) - P_E \cdot X \cdot (P_A + K')}{(P_A \cdot X + K)^2} $$

Im Zähler können wir die Klammern auflösen und zusammenfassen: $$ R' = \frac{P_E \cdot K - P_E \cdot X \cdot K'}{(P_A \cdot X + K)^2} $$

Damit die erste Ableitung der Rendite $R$ nach der Menge $X$ Null ist, muss der Zähler Null sein: $$ 0 \equiv P_E \cdot K - P_E \cdot X \cdot K' $$

Da $P_E$ in jedem Summanden vorkommt und definitiv nichtnegativ ist, können wir die gesamte Formel durch $P_E$ teilen: $$ 0 \equiv K - X \cdot K' $$

Durch Umstellen ergibt sich: $$ \frac{K}{X} = K' $$

Um auf Maximum oder Minimum der Rendite $R$ zu prüfen, können wir auch (20) minimieren. Abgeleitet mit der Quotientenregel (3) nach der Menge $X$: $$ \frac{d(\frac{K}{X})}{dX} = \frac{K' \cdot X - K}{X^2} $$

Setzen wir (21) gleich Null, muss der Zähler Null werden: $$ 0 \equiv K - X \cdot K' $$

und erhalten durch Umstellen: $$ \frac{K}{X} = K' > 0 $$

Da (23) größer Null ist, werden die Kosten minimiert und folglich die Rendite $R$ (21) maximiert. Bemerkenswert daran: Die Stelle des Optimums (18) hängt nicht mehr direkt vom Kauf- und Verkaufspreis der Investition ab, sondern nur noch von den Kosten $K$ und der Menge $X$.

Fazit: Minimale Transaktionskosten maximieren die Rendite.

Einfluss von Steuern

Berücksichtigt man Steuern $S$, so gilt für den Gewinn nach Steuern $G_{\text{nach St.}}$ unter Berücksichtigung von (8): $$ G_{\text{nach St.}} = G_{\text{vor St.}} - S(G_{\text{vor St.}}) $$

Typischerweise ist die Steuer $G_{\text{vor St.}}$ ein prozentualer Anteil $\hat{s}$ vom Gewinn. Allerdings ist $\hat{s}$ laut unseren Steuergesetzen vom Gewinn $G_{\text{vor St.}}$ und von der Anlageform abhängig. Somit ergibt sich: $$ G_{\text{nach St.}} = G_{\text{vor St.}} - \hat{s} \cdot G_{\text{vor St.}}, \quad \text{mit} \quad 0 \lt \hat{s} \lt 1 $$

Das können wir vereinfachen auf: $$ G_{\text{nach St.}} = G_{\text{vor St.}} \cdot (1 - \hat{s}) $$

Beachte, dass der Term $(1 - \hat{s})$ ebenfalls ein Faktor im Intervall $0 \lt 1 - \hat{s} \lt 1$ ist. Deshalb können wir (28) nach der Menge $X$ ableiten: $$ G'_{\text{nach Steuer}} = \frac{dG_{\text{nach St.}}}{dX} = G'_{\text{vor St.}} \cdot (1 - \hat{s}) $$

Die erste Ableitung von $G'_{\text{vor St.}}$ nach der Menge $X$ entspricht (9). Das setzen wir ein: $$ G'_{\text{nach Steuer}} = (P_E - P_A - K') \cdot (1 - \hat{s}) $$

Für das Maximum müssen wir $G'_{\text{nach Steuer}}$ Null setzen: $$ 0 \equiv (P_E - P_A - K') \cdot (1 - \hat{s}) $$

Ein Produkt ist Null, sobald einer der Faktoren Null wird. Laut (25) ist das für $(1 - \hat{s})$ nicht möglich. Das heißt: $$ 0 \equiv P_E - P_A - K' $$

Das kennen wir bereits. Auch unter Berücksichtigung von Steuern gilt für den maximalen Gewinn: $$ P_E - P_A = K' $$

Für die zweite Ableitung nach der Menge $X$ ergibt sich: $$ G''_{\text{nach Steuer}} = (-K'') \cdot (1 - \hat{s}) $$

Analog zu (15) ergibt sich somit: $$ \underbrace{ - \underbrace{K''}_{\gt 0} \cdot \underbrace{(1 - \hat{s})}_{\gt 0} }_{\lt 0} \lt 0 $$

Für die Rendite $R$ gilt der zuvor aufgezeigte Rechenweg analog. Dieser kann als Übung nachvollzogen werden.

Fazit: Auch wenn Steuern $S$ anfallen, gilt: Minimale Transaktionskosten $K$ maximieren Gewinn $G$ und Rendite $R$.

Portfolio optimieren

Nehmen wir nun an, wir teilen unsere Investition auf mehrere Investitionen $i$ auf, die zu einem Portfolio $PF$ gehören. Dann ist der absolute Portfoliogewinn $G_{PF}$ die Summe der Teilgewinne: $$ G_{PF} = \sum G_i, \quad \text{mit} \quad 1 \lt i \lt \infty $$

Analog können wir (8) einsetzen: $$ G_{PF} = \sum (P_{E_i} X_i - P_{A_i} X_i) - \sum K_i $$

und ermitteln die 1. Ableitung nach der Menge $X$: $$ G'_{PF} = \sum (P_{E_i} - P_{A_i}) - \sum K'_i $$

Setzen wir die 1. Ableitung Null und stellen um: $$ \sum (P_{E_i} - P_{A_i}) = \sum K'_i $$

Es handelt sich wiederum um ein Maximum, weil uns die Banken nichts schenken: $$ G''_{PF} = - \underbrace{ \sum \underbrace{K''_i}_{\gt 0} }_{\gt 0} \lt 0 $$

Für die Rendite $R$ und Steuern $S$ gilt der zuvor aufgezeigte Rechenweg analog. Dieser kann als Übung nachvollzogen werden.

Fazit: Auch in einem Portfolio, gilt: Minimale Transaktionskosten $K$ maximieren Gewinn $G$ und Rendite $R$.

Laufende Ausschüttungen, Dividende, Aktientausch

Die Überlegungen zum Portfolio beantwortet auch die Frage, wie es sich verhält, wenn während der Haltezeit laufende Ausschüttungen anfallen, z. B. aus Dividende oder Aktientausch. Diese Einnahmen samt zugehöriger Ausgaben und Kosten sind in der Reihe (35) enthalten. Sollten diese laufenden Ausschüttungen thesauriert und zinseszinslich angelegt werden, sind diese beim Verkauf der Investition enthalten.

Verlustgeschäfte

Alle Überlegungen gelten auch für Verlustgeschäfte (negative Gewinne), wenn $P_E \lt P_A$ bzw. $\sum P_{E_i} \lt \sum P_{A_i}$:

Verlustgeschäfte werden durch minimale Transaktionskosten $K$ minimiert.

Trading

Beim Trading wird die Zeitspanne zwischen Kauf und Verkauf stark verkürzt. Entsprechend häufig fallen Transaktionskosten an. Dieses Vorgehen widerspricht der Formel (37). Zu den erheblichen Risiken von Trading sei auf den guten Artikel von Finanztip verwiesen.

Andere Investitionen

Die Betrachtungen gelten auch für andere Investition wie Immobilien, Gold, Crypto. Die Kosten für Management, Makler, Notar, Steuern, Zinsen, Versicherungen, etc. sind in den Residualkosten in (7) enthalten.

Anhang - Download

Endoten

1. ↑ https://www.finanztip.de/lebensversicherung/kapitallebensversicherung/
2. ↑ https://kvoptimal.de/blog/lebensversicherung/die-kosten-in-lebensversicherungen-und-rentenversicherungen/
3. ↑ https://www.weltsparen.de/geldanlage/etf/kosten/
4. ↑ https://www.finanztip.de/indexfonds-etf/msci-world/
5. ↑ Bei 25% Abgeltungssteuer zzgl. Soli 5,5%, vgl. §32d (1) EStG: https://www.gesetze-im-internet.de/estg/__32d.html